ブラックショールズモデル導出に必要な金融数学について説明したサイトです。

部分積分

 

 

部分積分法


公式としては次のようになります。

ブラックショールズ,微分積分,部分積分,部分積分公式,不定積分,定積分,解法,三角関数

ブラックショールズ,微分積分,部分積分,部分積分公式,不定積分,定積分,解法,三角関数の右上についているブラックショールズ,微分積分,部分積分,部分積分公式,不定積分,定積分,解法,三角関数という記号は一回微分したという意味です。
具体的に表せば次のような構造になっています。

部分積分公式

2つの関数が積の形になっているもので、その左辺のどちらかの関数を、微分してある関数と考えて、右辺に書かれているような形におくという作業をします。

 

以下に示す例題において実際にやってみると次のようになります。

ブラックショールズ,微分積分,部分積分,部分積分公式,不定積分,定積分,解法,三角関数

xgにあたり、ブラックショールズ,微分積分,部分積分,部分積分公式,不定積分,定積分,解法,三角関数ブラックショールズ,微分積分,部分積分,部分積分公式,不定積分,定積分,解法,三角関数に相当します。ですのでまずfを求めなければならないのでブラックショールズ,微分積分,部分積分,部分積分公式,不定積分,定積分,解法,三角関数を積分します。

ブラックショールズ,微分積分,部分積分,部分積分公式,不定積分,定積分,解法,三角関数

これを部分積分の公式に入れていくと

ブラックショールズ,微分積分,部分積分,部分積分公式,不定積分,定積分,解法,三角関数

ブラックショールズ,微分積分,部分積分,部分積分公式,不定積分,定積分,解法,三角関数
ブラックショールズ,微分積分,部分積分,部分積分公式,不定積分,定積分,解法,三角関数

 

【例題1】
次に示す対数関数を部分積分によって求めてみましょう。

ブラックショールズ,微分積分,部分積分,部分積分公式,不定積分,定積分,解法,三角関数

上記式では先ほどの公式の部分に対応するはずのブラックショールズ,微分積分,部分積分,部分積分公式,不定積分,定積分,解法,三角関数およびブラックショールズ,微分積分,部分積分,部分積分公式,不定積分,定積分,解法,三角関数のどちらかにあたるであろうと思われる部分が一つだけかけています。こうしたときブラックショールズ,微分積分,部分積分,部分積分公式,不定積分,定積分,解法,三角関数に相当する部分、すなわち微分した後の数値として式なのかに“ブラックショールズ,微分積分,部分積分,部分積分公式,不定積分,定積分,解法,三角関数”があるとし、次のように求める積分式を置きます。

ブラックショールズ,微分積分,部分積分,部分積分公式,不定積分,定積分,解法,三角関数

上記の式においてはブラックショールズ,微分積分,部分積分,部分積分公式,不定積分,定積分,解法,三角関数に相当する部分が“ブラックショールズ,微分積分,部分積分,部分積分公式,不定積分,定積分,解法,三角関数”で、ブラックショールズ,微分積分,部分積分,部分積分公式,不定積分,定積分,解法,三角関数に相当する部分が元から示されていたブラックショールズ,微分積分,部分積分,部分積分公式,不定積分,定積分,解法,三角関数になります。
なのでこれらを公式に当てはめていけば、
ブラックショールズ,微分積分,部分積分,部分積分公式,不定積分,定積分,解法,三角関数

ブラックショールズ,微分積分,部分積分,部分積分公式,不定積分,定積分,解法,三角関数
ブラックショールズ,微分積分,部分積分,部分積分公式,不定積分,定積分,解法,三角関数
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ブラックショールズ,微分積分,部分積分,部分積分公式,不定積分,定積分,解法,三角関数

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【例題2】

ブラックショールズ,微分積分,部分積分,部分積分公式,不定積分,定積分,解法,三角関数

ブラックショールズ,微分積分,部分積分,部分積分公式,不定積分,定積分,解法,三角関数

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となるので、さらに右辺第2項に対して部分積分を施します。
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ブラックショールズ,微分積分,部分積分,部分積分公式,不定積分,定積分,解法,三角関数


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なお途中のlog xの2乗の微分は合成関数微分の方法を利用して次のように導いています。

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ブラックショールズ,微分積分,部分積分,部分積分公式,不定積分,定積分,解法,三角関数

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【問題】
次の不定積分を部分積分によって解いてみましょう。

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【答え】

ブラックショールズ,微分積分,部分積分,部分積分公式,不定積分,定積分,解法,三角関数

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ここでブラックショールズ,微分積分,部分積分,部分積分公式,不定積分,定積分,解法,三角関数Iと置きましょう。すると、

ブラックショールズ,微分積分,部分積分,部分積分公式,不定積分,定積分,解法,三角関数

ブラックショールズ,微分積分,部分積分,部分積分公式,不定積分,定積分,解法,三角関数

 

【定積分】

【例題】

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部分積分法を使います。

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ちなみにsinの性質上、sin piは0です。 sin pi over 2だと1です。

 

こういったことは記憶ではなく、頭の中に次に示すような単位円を思い浮かべるとわかりやすいかと思います(理由は自分で考えてみてください)。

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