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熱伝導方程式

 

 

放物型偏微分方程式(熱伝導方程式)による境界値に関しての問題とその解法


熱伝導方程式(拡散方程式)における重ね合わせの原理

未知関数を含まない関数を分離できないときを同次といいその同次線形偏微分方程式においては“重ね合わせの原理”というのが成り立ちます。つまり、
がその方程式の解ならば、その線形結合も解となります。
次のような式を考えてみましょう。

熱伝導方程式,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,一次元,解法,拡散方程式

変数分離法を使って、熱伝導方程式,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,一次元,解法,拡散方程式xtの関数として二つに分離します。

熱伝導方程式,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,一次元,解法,拡散方程式

これを上式に代入すると

熱伝導方程式,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,一次元,解法,拡散方程式

熱伝導方程式,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,一次元,解法,拡散方程式

熱伝導方程式,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,一次元,解法,拡散方程式


式の両辺をよく見てみるとそれぞれがxtだけの関数になっていることがわかると思います。
上式のようにxtを独立に考えても等式が成り立つためには両辺の値が定数であると考えればよいです。
この定数をそれぞれの式に対して

熱伝導方程式,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,一次元,解法,拡散方程式

とおくと、

熱伝導方程式,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,一次元,解法,拡散方程式

という2つの方程式で表せると思います。これを以下に示す条件− 境界条件

熱伝導方程式,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,一次元,解法,拡散方程式

および、初期条件

熱伝導方程式,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,一次元,解法,拡散方程式

のもとにその解を求めてみましょう。

熱伝導方程式,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,一次元,解法,拡散方程式

と考えられるので、

熱伝導方程式,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,一次元,解法,拡散方程式

という2つの条件を満たすものをまず求めます。

 

熱伝導方程式,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,一次元,解法,拡散方程式の解で、熱伝導方程式,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,一次元,解法,拡散方程式を満たすものは次の3種類が考えられます。

 

熱伝導方程式,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,一次元,解法,拡散方程式のとき
熱伝導方程式,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,一次元,解法,拡散方程式になるので一般解は、

熱伝導方程式,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,一次元,解法,拡散方程式

熱伝導方程式,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,一次元,解法,拡散方程式

熱伝導方程式,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,一次元,解法,拡散方程式

熱伝導方程式,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,一次元,解法,拡散方程式

条件より

熱伝導方程式,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,一次元,解法,拡散方程式

さらには熱伝導方程式,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,一次元,解法,拡散方程式の条件

熱伝導方程式,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,一次元,解法,拡散方程式

も勘案すれば熱伝導方程式,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,一次元,解法,拡散方程式は0となり意味がない。

 

熱伝導方程式,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,一次元,解法,拡散方程式のとき
一般解は、熱伝導方程式,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,一次元,解法,拡散方程式となるので、条件より、

熱伝導方程式,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,一次元,解法,拡散方程式

となります。この場合も再び熱伝導方程式,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,一次元,解法,拡散方程式は0となるので熱伝導方程式,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,一次元,解法,拡散方程式と同じように解としては意味がありません。

 

熱伝導方程式,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,一次元,解法,拡散方程式のとき
では最後の熱伝導方程式,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,一次元,解法,拡散方程式はどうなるでしょうか?実際にやってみると、

熱伝導方程式,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,一次元,解法,拡散方程式

となるので解は次に示す

熱伝導方程式,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,一次元,解法,拡散方程式

というような複素解になります。

 

実数部0、 虚数部pm qなので、特性方程式は、

熱伝導方程式,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,一次元,解法,拡散方程式

となり、さらに条件から、

熱伝導方程式,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,一次元,解法,拡散方程式

ここで熱伝導方程式,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,一次元,解法,拡散方程式について考察してみると、このときb neq 0熱伝導方程式,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,一次元,解法,拡散方程式の式が成り立つためには熱伝導方程式,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,一次元,解法,拡散方程式でなければなりません。その条件とはサインの性質により、

熱伝導方程式,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,一次元,解法,拡散方程式

でなければなりません。

 

この結果、条件を満たす熱伝導方程式,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,一次元,解法,拡散方程式の解は

熱伝導方程式,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,一次元,解法,拡散方程式

となり、さらにこのとき熱伝導方程式,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,一次元,解法,拡散方程式の式は

熱伝導方程式,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,一次元,解法,拡散方程式

ここで式を見やすくするために熱伝導方程式,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,一次元,解法,拡散方程式とすると

熱伝導方程式,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,一次元,解法,拡散方程式

同次方程式がでてきたのでこれを解けば、

熱伝導方程式,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,一次元,解法,拡散方程式

熱伝導方程式,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,一次元,解法,拡散方程式

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ここで熱伝導方程式,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,一次元,解法,拡散方程式熱伝導方程式,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,一次元,解法,拡散方程式の定数を一緒にすれば、

 

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熱伝導方程式,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,一次元,解法,拡散方程式の重ね合わせ(線形結合)を考え、初期条件を満たすようにすると…

 

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さらには、

熱伝導方程式,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,一次元,解法,拡散方程式

という条件により、

熱伝導方程式,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,一次元,解法,拡散方程式

ここで半区間のフーリエ正弦級数を思い出すと

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というのがあったのでこれを使うと熱伝導方程式,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,一次元,解法,拡散方程式は次のように表現できます。

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よって求める解は次のようになります。

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以上のことを踏まえこの一次元熱伝導方程式の実際のモデルを計算してみましょう。

 

【例題】

初期条件熱伝導方程式,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,一次元,解法,拡散方程式で、境界条件熱伝導方程式,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,一次元,解法,拡散方程式

 

熱伝導方程式,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,一次元,解法,拡散方程式なので、熱伝導方程式,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,一次元,解法,拡散方程式

 

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これを解いていきます。

 

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よって熱伝導方程式,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,一次元,解法,拡散方程式の式、

熱伝導方程式,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,一次元,解法,拡散方程式

に代入すると、

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【例題】

熱伝導方程式熱伝導方程式,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,一次元,解法,拡散方程式を次に示す初期条件と境界条件をみたすよう解いてみましょう。
・境界条件 熱伝導方程式,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,一次元,解法,拡散方程式
  ・初期条件 熱伝導方程式,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,一次元,解法,拡散方程式

 

熱伝導方程式,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,一次元,解法,拡散方程式なので、熱伝導方程式,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,一次元,解法,拡散方程式

 

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三角関数の性質熱伝導方程式,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,一次元,解法,拡散方程式を使えば、
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上式の結果にn=1を代入すると0になると思いますが、ここで先ほどの途中の式

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において実際にn=1を代入するとどうなるかやってみましょう。
上記の右辺にn=1を代入すると、

 

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