ブラックショールズモデル導出に必要な金融数学について説明したサイトです。

ガウス積分

 

 

ガウス積分

正規分布関数

無限区間における積分で俗にガウス積分と言われるものがあります。

 

下図は指数関数を描画したものです。

ガウス積分

この関数をからの範囲において積分を実行すればどうなるでしょうか?

 

その答えを単刀直入に書くと次のようになります。

ガウス積分

はじめて見たひとは多分驚くかと思いますが確かにこういう結果がまかり通っております。そのためこの積分のことを、ガウスのインチキ積分などといったりするものがたまにいます。

 

ここでは私が大学で受けたときの自分の講義ノートを参考に説明したいと思います。

 

まず積分する範囲をIと置きましょう。そのIを2乗したものに対して極座標、

変数変換,,ガウス積分,ブラックショールズ,微分積分,ガウシアン,正規分布関数

を適用しますが、ここで、

ガウス積分

としても同じ値(積分領域)であるということはわかりますよね?

 

なので次のように表現できることになります。

ガウス積分

ガウス積分
ガウス積分
ガウス積分
ガウス積分

ここでを微分すると(変数変換をして)、

これにより

なのでこれを使って、

ガウス積分

ガウス積分
ガウス積分
ガウス積分
ガウス積分


ガウス積分

 

Iは正なので変数変換,,ガウス積分,ブラックショールズ,微分積分,ガウシアン,正規分布関数 よって、

ガウス積分

となります。

 

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