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フーリエ変換

 

 

最近よく耳(?)にするフーリエ変換のおはなし

コーシーぶれいく

BSモデル導出に必要な数学範囲には入っていませんが、最近巷でよく話題(?)になるフーリエ変換とはどういったものかをかるくやってみたりします。フーリエ解析コンテンツのおまけだと思って軽い気持ちで閲覧(もしくはスルー)してください。


フーリエ変換の式

まずある関数ブラックショールズ,フーリエ解析,フーリエ変換,フーリエ逆変換,三角関数,導出,デルタ関数を考え、ここでブラックショールズ,フーリエ解析,フーリエ変換,フーリエ逆変換,三角関数,導出,デルタ関数を虚数単位とするとブラックショールズ,フーリエ解析,フーリエ変換,フーリエ逆変換,三角関数,導出,デルタ関数のフーリエ積分表示は、

ブラックショールズ,フーリエ解析,フーリエ変換,フーリエ逆変換,三角関数,導出,デルタ関数

このときのブラックショールズ,フーリエ解析,フーリエ変換,フーリエ逆変換,三角関数,導出,デルタ関数ブラックショールズ,フーリエ解析,フーリエ変換,フーリエ逆変換,三角関数,導出,デルタ関数のフーリエ変換といい、具体的には次のように書きます。

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デルタ関数

ここでデルタ関数というものを導入し考察してみましょう。このデルタ関数というのはブラックショールズ,フーリエ解析,フーリエ変換,フーリエ逆変換,三角関数,導出,デルタ関数、つまりブラックショールズ,フーリエ解析,フーリエ変換,フーリエ逆変換,三角関数,導出,デルタ関数以外の場所においての値はすべて0で、ブラックショールズ,フーリエ解析,フーリエ変換,フーリエ逆変換,三角関数,導出,デルタ関数でのみその値が∞となり、かつその面積が“1”になると定義されるちょっと変わった関数です。

デルタ関数

デルタ関数のその他の表し方:フーリエ積分表示
ある3次元空間(P空間)において次のように表現される関数

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を考えこれに対してgradなどを作用させ変形していきます。

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これの積分領域を全空間として表示すると次にようになります。

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ここでP空間の極座標に変換します。ただしP_z軸をr vectorの方向になるようにとればその微小部分のヤコビアンは

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またドットプロダクトの基本定理により

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これらを利用して代入すれば次のようになります。

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まず変数変換としてと置き、これをthetaで微分すればthetaとなるのでこれを代入します。

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ここで三角関数の性質

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により、

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これを代入すれば、

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さらにここで次のような公式

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を使えば、
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よって式は次のようになります。

 

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これにより一次元でのデルタ関数は次のようになります。

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デルタ関数を使ったフーリエ変換式の求め方

今ここでこのデルタ関数デルタ関数においてx方向にprime xだけ水平移動させたとすればデルタ関数デルタ関数デルタ関数

 

これを使えば先ほどの一次元デルタ関数は次のように表現できます。

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関数ブラックショールズ,フーリエ解析,フーリエ変換,フーリエ逆変換,三角関数,導出,デルタ関数において区間ブラックショールズ,フーリエ解析,フーリエ変換,フーリエ逆変換,三角関数,導出,デルタ関数との積はブラックショールズ,フーリエ解析,フーリエ変換,フーリエ逆変換,三角関数,導出,デルタ関数
これをブラックショールズ,フーリエ解析,フーリエ変換,フーリエ逆変換,三角関数,導出,デルタ関数からブラックショールズ,フーリエ解析,フーリエ変換,フーリエ逆変換,三角関数,導出,デルタ関数において積分を実行すれば、

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(簡単にいうと非常に小さい区間においての長方形の面積を求めているといった感じで考えています) この式にさきほどの一次元デルタ関数ブラックショールズ,フーリエ解析,フーリエ変換,フーリエ逆変換,三角関数,導出,デルタ関数の右辺の式を代入します。

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見てわかるように上記式変形中において出てきた下部鍵括弧のなかのものは最初に示したフーリエ変換式です。そして右辺の一番最後に出てきた式をフーリエ逆変換の式といいます。

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ではいったい何のためにこんなめんどくさいことをするのか?


 

簡単に言えば、実際の現象を微分方程式などに置き換えた場合、その因果律を導き出すことは簡単なことではありません(むしろ解けないことのほうが多い)。

 

そこでこのフーリエ変換という技法を使うとその現象がわかりやすくなるという利点があります。

 

例)
例えばつぎに示すような方程式があったとします。

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これに対して実際にフーリエ変換してみると、

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このようにxの世界の現象がpの世界の現象に置き換わっています。そうすると今までxの世界で見ていた場合わかりずらかったものが、pに置き換わることで見通しが明るくなり、その現象がわかりやすくなるという利点があるからです。

具体的な例

次に示すような波形を考えます。

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とすればフーリエ変換の式は次のようになります。

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これを実際に計算します。

 

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出てきた式を見ればわかるように先ほどのxの世界のものがkだけの式に置き換わっています。

こうすることにより今まではわかりずらかった現象がフーリエ変換を施すことによって見通しがよくなったりします。

 

わかったけ?
  ∧_∧ パーン
 ( ・∀・)
   ⊂彡☆))Д´> <アイゴー

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