ブラックショールズモデル導出に必要な金融数学について説明したサイトです。

フーリエ積分

 

 

フーリエ積分


周期的ではない関数があったとします。このとき

周期

right allow

infty

と考えることが出来ると思います。
こうしたときフーリエ級数はフーリエ積分とよばれるものになります。

fourier integral

ただし

fourier integral

であり、実際に代入してみると、

fourier integral

fourier integral

ここで、

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より

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これをフーリエ積分公式などといったりします。
熱伝導方程式を解く際に、この上記の公式に例えば乗数に変数xiのついたeが一緒にある場合の計算が必要になります。一応そういった場合の積分公式があるようなのですが、それだと応用がきかないので例題でその解法を示したいと思います。ただしこの積分は答えを出までが少々厄介です。

 

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まず積分順序を変更します。この場合、ブラックショールズ,微分積分,フーリエ積分,フーリエ級数,部分積分,周期,変数変換,積分定数が有界かつ絶対積分可であるならば積分順序の変換が可能です。

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このときのブラックショールズ,微分積分,フーリエ積分,フーリエ級数,部分積分,周期,変数変換,積分定数について考えて見ましょう。 例えば、次のような場合の積分を解く方法を詳しくやります。

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まず求める積分をIとおきます。

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これをまずaで微分してみまょう。

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ここで、

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という関係を利用し、部分積分をすると

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この微分方程式の解を求めます。
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次にこの積分定数Cを求めます。重要なことはこのCという積分定数はIの変数をブラックショールズ,微分積分,フーリエ積分,フーリエ級数,部分積分,周期,変数変換,積分定数としてIaについて積分したものなのだから当然出てきた積分定数Cブラックショールズ,微分積分,フーリエ積分,フーリエ級数,部分積分,周期,変数変換,積分定数だということです。

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ここでブラックショールズ,微分積分,フーリエ積分,フーリエ級数,部分積分,周期,変数変換,積分定数なので

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ブラックショールズ,微分積分,フーリエ積分,フーリエ級数,部分積分,周期,変数変換,積分定数を求めるためにまず積分範囲を広げて(yを対称に広がっているために可能です)、

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xiについての変数変換を実行するためにブラックショールズ,微分積分,フーリエ積分,フーリエ級数,部分積分,周期,変数変換,積分定数とおきます。

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より、

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これを代入すれば、

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よって求める積分の値は、

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