ブラックショールズモデル導出に必要な金融数学について説明したサイトです。

フーリエ級数展開

 

 

フーリエ級数展開


区間ブラックショールズ,フーリエ,級数展開,三角関数,微分積分は次のように展開することが可能です。

ブラックショールズ,フーリエ,級数展開,三角関数,微分積分

このように表現されるとき、上式の右辺、

フーリエ級数展開

の部分をフーリエ級数展開といいます。 ただし、フーリエ級数展開は次のようになります。

フーリエ級数展開

実際にを求めてみましょう。
まず

ブラックショールズ,フーリエ,級数展開,三角関数,微分積分

の両辺にcos nxをかけて、それを-πからπまでを積分してみます。

ブラックショールズ,フーリエ,級数展開,三角関数,微分積分

 

▼右辺第一項の計算

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a0なのでn=0です。
よって、

ブラックショールズ,フーリエ,級数展開,三角関数,微分積分

次にブラックショールズ,フーリエ,級数展開,三角関数,微分積分の導出ですがその前に三角関数の性質についておさらいしてみましょう。
三角関数の加法定理には以下の性質があります。
三角関数の加法定理
三角関数の加法定理

上記の式を覚えるコツは、sinのほうは“シンコスコッシン”、cosのほうは“コスコスシンシン”、などとすると覚えやすいです。そしてsinの場合は符号はそのままで、cosのほうは符号が逆になるということに注意しましょう。
この式において、互いに引き算足し算などをするとさらに次のような式が示されます。

ブラックショールズ,フーリエ,級数展開,三角関数,微分積分

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こういった性質を利用して上記の積分を解いていきます。
まず、ブラックショールズ,フーリエ,級数展開,三角関数,微分積分のとき

ブラックショールズ,フーリエ,級数展開,三角関数,微分積分

ブラックショールズ,フーリエ,級数展開,三角関数,微分積分
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となります。

 

ちなみに上記の式においてブラックショールズ,フーリエ,級数展開,三角関数,微分積分という関係を使っています。

 

次はn=mであるならば

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ブラックショールズ,フーリエ,級数展開,三角関数,微分積分


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この結果により、
ブラックショールズ,フーリエ,級数展開,三角関数,微分積分のとき、ブラックショールズ,フーリエ,級数展開,三角関数,微分積分ブラックショールズ,フーリエ,級数展開,三角関数,微分積分のときだけゼロでない結果が出ます。 ブラックショールズ,フーリエ,級数展開,三角関数,微分積分

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さらにブラックショールズ,フーリエ,級数展開,三角関数,微分積分の部分は、

 

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となり結果はゼロです。ちなみにコサインの遇奇性によりブラックショールズ,フーリエ,級数展開,三角関数,微分積分です。

 

こんどはブラックショールズ,フーリエ,級数展開,三角関数,微分積分の両辺にブラックショールズ,フーリエ,級数展開,三角関数,微分積分をかけて、ブラックショールズ,フーリエ,級数展開,三角関数,微分積分します。

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右辺第一項は、ブラックショールズ,フーリエ,級数展開,三角関数,微分積分なので式自体が消去できます。
さらに第2項も、上記(2.3)のように計算していけば同じように結果は0です。

 

第3項
ブラックショールズ,フーリエ,級数展開,三角関数,微分積分のとき
ブラックショールズ,フーリエ,級数展開,三角関数,微分積分
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次にブラックショールズ,フーリエ,級数展開,三角関数,微分積分のとき
ブラックショールズ,フーリエ,級数展開,三角関数,微分積分
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この結果により、ブラックショールズ,フーリエ,級数展開,三角関数,微分積分のとき、ブラックショールズ,フーリエ,級数展開,三角関数,微分積分ブラックショールズ,フーリエ,級数展開,三角関数,微分積分のときだけゼロでない結果が出ます。
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ブラックショールズ,フーリエ,級数展開,三角関数,微分積分

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以上の結果より、フーリエ級数展開の式は、

ブラックショールズ,フーリエ,級数展開,三角関数,微分積分

 

■具体的な例

次に示す範囲のブラックショールズ,フーリエ,級数展開,三角関数,微分積分をフーリエ級数展開してみましょう。
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まず求めるものはa0an,bnです。
まずa0を計算します。

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つづいて第2第3項の計算をします。 ブラックショールズ,フーリエ,級数展開,三角関数,微分積分
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よってブラックショールズ,フーリエ,級数展開,三角関数,微分積分のフーリエ級数展開は ブラックショールズ,フーリエ,級数展開,三角関数,微分積分
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となります。

 

非常に単純に示した

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のようなモデルからなぜ上記のような式が出てくるのかと考え込む方が多いと思いますが、まぁそこはあまり深く考えずにこういうものなんだと軽く受け止めてください。

 

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