ブラックショールズモデル導出に必要な金融数学について説明したサイトです。

合成関数の微分

 

 

合成関数の微分法

vector 3D

合成関数というのは複数の関数によって構成されているいわば混合型関数のようなものと考えればよいでしょう。この合成関数を微分するという概念は微分積分学を学習する上で非常に重要であり避けては通れないものであります。

 

■考え方としては次のようになります。

変数xによって構成されているz=f(x)という関数があります。その微分表現はブラックショールズ,微分積分,合成関数ですが、z=f(x)の式はその中に同じ変数xによって2つの関数によって構成されていたとします。その二つに分けた関数をそれぞれブラックショールズ,微分積分,合成関数ブラックショールズ,微分積分,合成関数とします。

ブラックショールズ,微分積分,合成関数

すると、微分表現は次のようになります。

ブラックショールズ,微分積分,合成関数

微分記号ブラックショールズ,微分積分,合成関数(ディーズィーディーエックスと読みます。けっしてディーエックス分のディーズィーなどとは言いません)というのは厳密には分数ではないのですが、この場面では大体そんな感じで受け止めてください。

 

では実際の計算に照らし合わせてやってみます。

ブラックショールズ,微分積分,合成関数

に対して微分を実行してみましょう。

 

上記の式はまず、ブラックショールズ,微分積分,合成関数という式とブラックショールズ,微分積分,合成関数という二つの関数で構成されているということがわかるかと思います。
それぞれをブラックショールズ,微分積分,合成関数ブラックショールズ,微分積分,合成関数とすると、

ブラックショールズ,微分積分,合成関数

などと表現できるので、それをそれぞれ微分します。

ブラックショールズ,微分積分,合成関数

という結果が出てくるので、先ほどのブラックショールズ,微分積分,合成関数に代入すれば、

ブラックショールズ,微分積分,合成関数

ここでyはブラックショールズ,微分積分,合成関数であるので、それを代入し、

ブラックショールズ,微分積分,合成関数

となります。 合成微分法を知らないという方は、括弧の中を分解してさらにそれを微分しようとするでしょうが、このようなやり方をすればだいぶ手間が省ける効率的な微分法だということがよくわかるかと思います。
さらに多くの関数で構成されている合成関数であったとしても、同じように、

ブラックショールズ,微分積分,合成関数

ブラックショールズ,微分積分,合成関数

とすればよいでしょう。こうしたやり方の利点は、ある関数の中にどんなに多くの関数が構成されていようともその構成関数を鎖のようにループさせればいくらでも合成関数の微分が可能であるということです(ただし連続であるなどの厳密な理論と証明ははぶきます)。
では次の合成関数を微分してみましょう。

ブラックショールズ,微分積分,合成関数

この関数は、

ブラックショールズ,微分積分,合成関数

のように表せるかと思います。これを“チェーン”させましょう。

ブラックショールズ,微分積分,合成関数

なので、それぞれを微分すると、

ブラックショールズ,微分積分,合成関数

代入すれば、

 

ブラックショールズ,微分積分,合成関数

ブラックショールズ,微分積分,合成関数
ブラックショールズ,微分積分,合成関数


となります。

 

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