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無限区間における熱伝導方程式

 

 

無限区間における熱伝導方程式(拡散方程式)に関する問題とその解法


無限区間における熱伝導方程式(拡散方程式)とフーリエ積分

前セクションでは定区間においての一次元熱伝導方程式をやりましたが今度は拡散方程式,フーリエ積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,熱伝導方程式,無限区間,解法について無限に長い場合(無限区間)の方程式を考えてみることにしましょう。無限区間の場合はフーリエ積分表示が適用できるようになります。

初期条件: 拡散方程式,フーリエ積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,熱伝導方程式,無限区間,解法 同じように変数分離を行いそれぞれの定数をrhoとします。

拡散方程式,フーリエ積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,熱伝導方程式,無限区間,解法

拡散方程式,フーリエ積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,熱伝導方程式,無限区間,解法

拡散方程式,フーリエ積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,熱伝導方程式,無限区間,解法

右辺はtの関数、左辺はxの関数になっていますので、それぞれを定数rhoとみなして式を作ります。

拡散方程式,フーリエ積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,熱伝導方程式,無限区間,解法

拡散方程式,フーリエ積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,熱伝導方程式,無限区間,解法について

 

特性方程式は、拡散方程式,フーリエ積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,熱伝導方程式,無限区間,解法なので基本解は拡散方程式,フーリエ積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,熱伝導方程式,無限区間,解法

拡散方程式,フーリエ積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,熱伝導方程式,無限区間,解法

次に拡散方程式,フーリエ積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,熱伝導方程式,無限区間,解法について 拡散方程式,フーリエ積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,熱伝導方程式,無限区間,解法を代入すると

 

拡散方程式,フーリエ積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,熱伝導方程式,無限区間,解法

拡散方程式,フーリエ積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,熱伝導方程式,無限区間,解法

拡散方程式,フーリエ積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,熱伝導方程式,無限区間,解法

拡散方程式,フーリエ積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,熱伝導方程式,無限区間,解法
拡散方程式,フーリエ積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,熱伝導方程式,無限区間,解法

拡散方程式,フーリエ積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,熱伝導方程式,無限区間,解法

これらの結果より拡散方程式,フーリエ積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,熱伝導方程式,無限区間,解法

拡散方程式,フーリエ積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,熱伝導方程式,無限区間,解法

上記の定数拡散方程式,フーリエ積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,熱伝導方程式,無限区間,解法にはそれぞれの中にCが組み込んであるものとしています(単に表記を簡略化しているだけです)。
上式の解において、線形結合なのでこれによる重ね合わせもまた解になるということを考えれば

拡散方程式,フーリエ積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,熱伝導方程式,無限区間,解法

と表現できます。さらにここでA,Bqの関数と考えた場合、

拡散方程式,フーリエ積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,熱伝導方程式,無限区間,解法

この式が初期条件拡散方程式,フーリエ積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,熱伝導方程式,無限区間,解法を満たすようにします。

拡散方程式,フーリエ積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,熱伝導方程式,無限区間,解法

ここでfxのフーリエ積分表示を適用すれば、
拡散方程式,フーリエ積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,熱伝導方程式,無限区間,解法 拡散方程式,フーリエ積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,熱伝導方程式,無限区間,解法 拡散方程式,フーリエ積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,熱伝導方程式,無限区間,解法

となるので、代入して
拡散方程式,フーリエ積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,熱伝導方程式,無限区間,解法

拡散方程式,フーリエ積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,熱伝導方程式,無限区間,解法
拡散方程式,フーリエ積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,熱伝導方程式,無限区間,解法

ここで収束性について述べるとフーリエ積分というのは、fxpm inftyという範囲において絶対積分可能であり、さらにはこのfxが有界(※無限に長い棒としていますがpm inftyで有界拡散方程式,フーリエ積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,熱伝導方程式,無限区間,解法という前提のため)であるというこの2つの条件を満たせば積分順序の交換が可能になります。

 

そうすると次のようにできます。

拡散方程式,フーリエ積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,熱伝導方程式,無限区間,解法

先ほどのセクション(一次元熱伝導方程式)の拡散方程式,フーリエ積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,熱伝導方程式,無限区間,解法と違うところは、無限区間(における熱伝導方程式)という前提のためにフーリエ積分になるのであって、そのフーリエ積分という性質のために新しく拡散方程式,フーリエ積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,熱伝導方程式,無限区間,解法の部分の計算が必要になってくることです。

 

拡散方程式,フーリエ積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,熱伝導方程式,無限区間,解法の計算

まず求める積分をIと置きましょう。

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これを拡散方程式,フーリエ積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,熱伝導方程式,無限区間,解法で偏微分します。

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(4.7)の式の右辺に対して部分積分を実行します。
部分積分の公式integration by parts formulaに当てはめれば、それぞれ

拡散方程式,フーリエ積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,熱伝導方程式,無限区間,解法

となるので、

拡散方程式,フーリエ積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,熱伝導方程式,無限区間,解法

拡散方程式,フーリエ積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,熱伝導方程式,無限区間,解法

より、拡散方程式,フーリエ積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,熱伝導方程式,無限区間,解法qについて微分した結果は

拡散方程式,フーリエ積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,熱伝導方程式,無限区間,解法

となります。 これを利用すれば、(4.7)式の右辺の部分積分は
拡散方程式,フーリエ積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,熱伝導方程式,無限区間,解法

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拡散方程式,フーリエ積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,熱伝導方程式,無限区間,解法

という結果より、

拡散方程式,フーリエ積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,熱伝導方程式,無限区間,解法

となります。この微分方程式を解いていきましょう。

拡散方程式,フーリエ積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,熱伝導方程式,無限区間,解法

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ここでlog e to the c powere to the c powerを見やすいようにただのCと表記しましょう。すると、

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といった感じになります。
次にこの定数Cについて考察してみると、このCIの変数を拡散方程式,フーリエ積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,熱伝導方程式,無限区間,解法としてIu-xについて積分したものなので、当然でてきた積分定数C拡散方程式,フーリエ積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,境界値問題,熱伝導方程式,無限区間,解法ということになります。

 

Iを元に戻せば、

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ここで出てきたこの式にガウス積分公式が適用できるように積分範囲を広げます。

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右辺の積分を実行するために変数変換をします。

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代入すれば、

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よって答えは、

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