ブラックショールズモデル導出に必要な金融数学について説明したサイトです。

ブラックショールズモデル−導出過程C

 

 

catenary

変数変換ブラックショールズ,微分積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,正規分布関数,境界値問題,一次元熱伝導方程式の式を現実のケースに置き換えて考えると、t_nというのはコールオプションなどの満期日にあたるので(解は数学上では可能ですが)現実にはブラックショールズ,微分積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,正規分布関数,境界値問題,一次元熱伝導方程式の値(時間)はマイナスになるということはありません。そして最初の境界条件のブラックショールズ,微分積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,正規分布関数,境界値問題,一次元熱伝導方程式というのは満期を迎えた原資産価格xが行使価格cより大きいという条件なのでuが0以下ならば金融派生商品omegaの価値は0、さらには満期日における境界条件はになるのでブラックショールズ,微分積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,正規分布関数,境界値問題,一次元熱伝導方程式の式に代入すれば、となります。これを変形すると

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以上の結果を考慮すれば、最初に示した境界条件は、

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さらに先ほどの変数変換に関して考慮すれば、ブラックショールズ,微分積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,正規分布関数,境界値問題,一次元熱伝導方程式であり、ブラックショールズ,微分積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,正規分布関数,境界値問題,一次元熱伝導方程式としているので、この境界条件はさらに

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etaの値がブラックショールズ,微分積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,正規分布関数,境界値問題,一次元熱伝導方程式以下ならばf(p)の値は0であり、この場合積分する範囲はブラックショールズ,微分積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,正規分布関数,境界値問題,一次元熱伝導方程式以上に限られます。つまり積分範囲は-inftyからinftyとなっていますが、(5.29)の積分は次のように表現できます。

 

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さらに(5.30)にあるf(p)を当てはめれば次のようになります。

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uを元にもどし、上記の式を少し変形させます。
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ここでブラックショールズ,微分積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,正規分布関数,境界値問題,一次元熱伝導方程式と置く変数変換を実施します。

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代入すれば

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ここで変換する前のetaの積分範囲はブラックショールズ,微分積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,正規分布関数,境界値問題,一次元熱伝導方程式ですが、これを変数変換後のzに置き換えてみると次のようになります。

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ですので積分範囲は

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となります。
ブラックショールズ,微分積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,正規分布関数,境界値問題,一次元熱伝導方程式の範囲は次のようになります。

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ちなみに表記を統一するために2項目のetaeta=zとして変数変換をしています。 ここで次の下にあるグラフをよく見てください。

ND

これは

ND

という関数においての値におけるそれぞれのグラフを表したものです。

 

uは平均、v^2は分散を表しています。ちなみにsとしています。

 

y軸を中心にしてその形が左右対称になっているのがわかると思います。この関数は正規分布関数といわれており、この関数はvの値が変化しグラフの形は変わってもその左右対称という構造は変わっていないというのがその大きな特徴です。

 

この関数は一般的に

ND

といった表記をします。

 

そしてこういった特徴は上記で示した関数ブラックショールズ,微分積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,正規分布関数,境界値問題,一次元熱伝導方程式に対しても同じことが言えます(左下グラフ中右上の式のxに対応するのはzです)。

 

nomal distribution
nomal distribution

正規分布関数のこうした特徴を応用すれば次のようなことがいえます。

nomal distribution

なのでにおけるこの関数を正規分布関数表記を使って表せば次のようになります。

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最後にブラックショールズ,微分積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,正規分布関数,境界値問題,一次元熱伝導方程式に代入します。

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これが最終的に求まるブラックショールズモデルです。


 

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