ブラックショールズモデル導出に必要な金融数学について説明したサイトです。

ブラックショールズモデル−導出過程B

 

 

random walk

先ほど出てきた、

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の式。これをf(p)とすると、係数ブラックショールズ,微分積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,正規分布関数,境界値問題,一次元熱伝導方程式は、

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(5.15)式に代入すれば、
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積分の順序を交換します(無限区間の熱伝導方程式のセクションを参照してください)。

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となります。続いて上記Iの積分計算を行いましょう。

 

Iの式をブラックショールズ,微分積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,正規分布関数,境界値問題,一次元熱伝導方程式で偏微分します。

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この(5.20)式の右辺に対して部分積分を実行します。 ブラックショールズ,微分積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,正規分布関数,境界値問題,一次元熱伝導方程式
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次にこの(5.22)の微分方程式を解いていきます。 ブラックショールズ,微分積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,正規分布関数,境界値問題,一次元熱伝導方程式
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となります。次にこの出てきた積分定数Cについて考えてみると、このCIの変数をブラックショールズ,微分積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,正規分布関数,境界値問題,一次元熱伝導方程式としてIに関して微分したものです。そのため出てきた積分定数はブラックショールズ,微分積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,正規分布関数,境界値問題,一次元熱伝導方程式になります。このことを考慮しIを元に戻せば積分定数Cは次のようになります。

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となりますが、ここでブラックショールズ,微分積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,正規分布関数,境界値問題,一次元熱伝導方程式なので

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この積分を実行するために積分範囲を広げて

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とします。これでガウス積分の適用が可能になります。

 

ここでブラックショールズ,微分積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,正規分布関数,境界値問題,一次元熱伝導方程式zとおく変数変換をしましょう。それをqで微分すれば

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これを代入すれば、

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よってブラックショールズ,微分積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,正規分布関数,境界値問題,一次元熱伝導方程式

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となり、さらにomegaは、代入すれば

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ここでブラックショールズ,微分積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,正規分布関数,境界値問題,一次元熱伝導方程式に対して変数変換を実施し、それをeta(イータと読みます)とおきましょう。

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このブラックショールズ,微分積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,正規分布関数,境界値問題,一次元熱伝導方程式の式をetaで微分します。

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