ブラックショールズモデル導出に必要な金融数学について説明したサイトです。

ブラックショールズモデル−導出過程A

 

 

B-Sモデル−その導出過程A


さきほど導出した熱伝導方程式に対して、一次元熱伝導方程式のセクションでやった変数分離という作業を行っていきます。

 

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とします。すると…

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となるので、ここで変数分離を行うと、

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となります。見てわかるように両辺の式はお互いのそれぞれの変数に依存していない形になっています。
なので次のように置くことが可能です。

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次のようにします。

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(5.13)式を次のように変形します。

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この微分方程式の解としては3つほど考えられますが熱伝導のセクションでやったようにこの場合、有効かつ意味のある解ブラックショールズ,微分積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,正規分布関数,境界値問題,一次元熱伝導方程式は、ブラックショールズ,微分積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,正規分布関数,境界値問題,一次元熱伝導方程式です。

 

実数部は0、虚数部はブラックショールズ,微分積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,正規分布関数,境界値問題,一次元熱伝導方程式なので特性方程式の解は次のようになります。

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ここで出てきた定数A,Bをそれぞれqの関数と考え

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とします。

 

次に(5.12)は

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とおけるのでこの微分方程式を解いていきます。 ブラックショールズ,微分積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,正規分布関数,境界値問題,一次元熱伝導方程式
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となります。それをブラックショールズ,微分積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,正規分布関数,境界値問題,一次元熱伝導方程式に代入すれば、

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この偏微分方程式の解をすべてを重ね合わせと考えると、0からの無限区間と考えられるのでその解の微分方程式は

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と出来ます。

 

ところで先ほどの微分方程式が与えられたときの条件を考慮し、ブラックショールズ,微分積分,フーリエ解析,微分方程式,偏微分方程式,正規分布関数,境界値問題,一次元熱伝導方程式とすれば

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となり、これによってフーリエ積分公式が適用できるようになります。

 



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