よい子の低学年向け数学シリーズ

変分問題

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変分問題記事一覧

最速降下線問題

最速降下線問題とは、ある質点が曲線に沿って点から点まで移動したとき一番短い時間で到達するような曲線はどんなものかと考える問題です。座標をに平行に、軸を鉛直下向きにとるとある質点の速さは線要素はと考えることができるので、は、時間の積分を作れば、この出てきた積分が最小値になるものを求めればいいわけです。

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懸垂線

ロープや糸などの紐の類をその両端を固定して吊り下げたものを懸垂線などといいます。これは物理的なポテンシャルが最小になるときのものであり、ここではそれを表す方程式をオイラーの式を使って求めるのですがいままでのやり方だとちょっとうまくいきません。そこで途中の式で全微分の公式を使います。こうしたやり方は物...

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フェルマーの定理

フェルマーの定理というのは媒質中(屈折率は一定とします)を通る光の2点間の通過時間は極小になるような経路をとるというものです。これを変分法を使って表してみましょう。曲面を記述する独立な2つのパラメーターをとします。そのときのベクトル方程式はであり、さらにこの方程式に対してのパラメーターをとすればです...

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古典的等周問題

平面上における閉曲線が囲む面積が最大となるものは何かを考えます。閉曲線をとすると、の囲む面積の式は(の囲む面積=) 一定(:拘束)をのパラメーターにとりの面積成分をストークスの定理を用いてについての線積分に直します。

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