よい子の低学年向け数学シリーズ

古典的等周問題


平面上における閉曲線が囲む面積が最大となるものは何かを考えます。

 

閉曲線をとすると、の囲む面積の式は

 

の囲む面積=) 一定(:拘束)

 

のパラメーターにとりの面積成分をストークスの定理を用いてについての線積分に直します。

 

 

ここでオイラーラグランジュの式を使って、

 



 



 

これを変形させれば

 

 

が中心点の半径がの円を示します。

 

一方、周回積分のほうは、

 

 

となるので、

 

 

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