解析力学

運動方程式の一般化

正規分布関数

デカルト座標においての運動方程式の座標成分は

運動方程式の座標成分

同じ運動を極座標系の動径方法と方位角方向のそれぞれで表せば

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この運動を別の形で表現してみましょう。

 

運動方程式の変換

座標系においてある質量質量mの平面運動について考えます。

 

この質点にある力力Fが働き、そのために微小変化微小変化drが加わったとします。

 

この時に作用した力による微小仕事は、

微小仕事dw

で与えられます。

微小仕事dw

ここで上記式のFrrFφをそれぞれQr、Qφと置きます。すると、

dw=Qrdr+Qφdφ

 

と表現できます。この時のQr、Qφを一般化力といいます。

 

運動量はP=mvだったのでそれぞれの力に分解すれば、

 

Fx,Fy

 

運動エネルギーについて考えると運動エネルギーTだったのでこの式より

運動エネルギーPx

運動エネルギーPy


となります。したがって

 

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と書けます。

 

極座標表示において速度速度V速度Vの成分と表せるので運動エネルギー運動エネルギーT

極座標による運動エネルギーT

これにより

極座標による運動エネルギーT

ここで

 

   極座標表示

 

極座標表示

 

          極座標表示

 

かつ、

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これらの式をそれぞれ照らし合わせれば次のように表すことができます。

 

極座標表示

極座標表示


極座標表示 の式に注目してみると外力極座標表示のほかに極座標表示というのが含まれています。これは見かけの力、つまり遠心力を意味しており

 

また極座標表示の式においては力極座標表示に対して極座標表示というのがついてきます。

 

この式の右辺を極座標表示とすると

極座標表示

さらに極座標表示を考慮すれば

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より解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線となります。

一般化座標と一般化力

デカルト座標に代わってすべての質点系の位置を特定するのに用いられる変数群を一般化座標といいます。

 

デカルト座標と一般化座標の間には座標変換に伴う変数関係、

変数関係

があり、上記の解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線を時間で微分すると次のようになります。

 

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デカルト座標系の解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線は時間の関数であるので、一連の座標変換により(解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線も時間の関数解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線なので)、解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線の関数になるためにこのような微分表現になります。

 

いま、質点系の各質点が微小変化し解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線になったとします。この時の解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線の変化は、

 

 

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この変位に対して力のする仕事は

 

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上記のdxの解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線を代入すれば

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ここで

 

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と置けば

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この解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線のことを一般化座標における一般化力といいます。

 

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解析力学とは、簡単に説明すればニュートン力学における運動方程式の記述を座標変換などの解析的な手法を用い、力学の現象を数学的に洗練された形にあらためて表現しなおしたものをいいます。 当サイトコンテンツはあくまで初学者、あるいは一般の方が、解析力学というものはどんなものかと知るような場合に適した内容になっているかと思います。ただしある程度の微分積分学の知識が必要です。

 
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