よい子の低学年向け数学ひろば

2重振り子(微小でない場合)

ヘリックス

微小でない場合の2重振り子の振動

2重振り子

 

それぞれの重りはどちらも重りmとし、その重りをつないでいる糸の長さはlで曲がったりせずかつ重さは無視できるものとします。

 

y軸に関しては下向きにとります。こうした場合ラグランジアンの式は次のようななります。

 

解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線
ラグランジアン

 

ラグランジアン

 

ラグランジアン

 

                         ラグランジアン

ラグランジアン

 

                  ラグランジアン

 

   ラグランジアン

 

ラグランジアン 

 

途中の式では三角関数という三角関数の公式を使っています。

 

三角関数についてのラグランジアンは

 

ラグランジアン

 

ラグランジアン

 

ここで三角関数の公式を使うと、

 

解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線

解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線

 

解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線

 

解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線

 

解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線

 

解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線

 

                              解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線

 

解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線

 

解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線

 

さらに三角関数を使うと上記式は

 

解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線

この結果を解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線についてのラグランジアンに使えば、 解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線

解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線

 

次は解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線に関しても同じようにやると

 

解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線

解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線

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解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線

 

解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線

(1.79)(1.80)の式を解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線のそれぞれについて求めます。

まず(1.80)より、

 

解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線

解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線

出てきたこの式を(1.79)に代入すると

  解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線

 

解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線

 

解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線

 

解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線

解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線

 

解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線

 

解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線

解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線

 

ちなみに上の導出式においては解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線という三角関数の性質を使っています。

 

次は解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線を求めます。

 

まず、(1.79)式において解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線について変形すると、

 

解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線

 

この式に(1.80)を代入し、先ほどと同じように計算していけば、

 

解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線
解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線

 

解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線
解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線

解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線

 


解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線

解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線

解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線

解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線

 

よって結果は次のようになります。

 

解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線

 

出てきた式を見てわかるように、かなり複雑な運動を行うことが予想できるかと思います。さらにおもりの重さの違いや糸の長さの違いなどが加わればもっと複雑な、なかばカオス的な状態を導くことになります。

 

ここで上式において次に示す近似式

 

解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線

解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線

 

これらを上式にそれぞれ代入し、

 

さらに三角関数の次のような性質

 

解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線

 

を使えば、

 

解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線

 

という結果が出てきますが、これを連立させて計算すると、

 

解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線

 

となります。

 

これは先ほどのページ(2重振動微小の場合)に出てきた解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線の連立式と同じものであることがわかります。
解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線

 

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