よい子の低学年向け数学ひろば

2重振り子:振動が微小の場合

メビウス輪

 

おもりを2つ吊るした振り子の微小振動の動きをラグランジアンを使って解析してみましょう。

 

2重振り子

 

糸の重さは無視できるものとします。

 

微小振動としているので、

sinθ

 

このような場合は水平方向のみを考えればよいです。

 

まず運動エネルギーは、

運動エネルギーT


ポテンシャルエネルギーは、

ポテンシャルエネルギーU

 

θ=0とした場合、U=0となってしまうので

cosθ近似

cosθ近似

とします。これを使えば

 

ポテンシャルエネルギーU

ポテンシャルエネルギーU

 

よってラグランジアンは次のようになります。

 

ラグランジアン

ラグランジアン

ラグランジアン

 

ラグランジアンから、

 

ラグランジアン

ラグランジアン

ラグランジアン

 

θに関しても同じくして、

 

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ここで解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線として見やすくすると、

 

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さらにここで解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線として見やすくすると、

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2つのおもりの角振動数を解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線、初期位相を解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線とし、解を次のように置きます。

 

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それぞれ2度微分すれば

 

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これらを

 

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に代入します。

 

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上記の式において解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線が同時に0にならない条件を求めなければなりません。

 

その条件とは永年方程式を使って次のようになります。

 

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この行列式を計算します。

 

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解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線とすると、

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公式を使って解を求めると、

 

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これが微小振動における2重振り子の基準振動数になります。
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