解析力学

連成振動の解A

解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線

壁側についているばねのばね定数をc、真ん中のバネのバネ定数をkとし、そのバネの境に重さmのおもりをつけた場合の連成振動の解。

 

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振動の方向は水平方向のみとします。

 

両質点の変位を解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線とすれば左端のバネは解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線だけ伸び、中央のバネは解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線だけ伸びます。そして右のバネは解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線だけ縮みます。

 

ラグランジアンは

 

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ここで解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線を、

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と置いて時間微分を施せば、

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この時間微分による結果を(1.53)(1.54)にそれぞれ代入すると、
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同様にして、
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上記の式においては解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線が同時に0になると運動しないことになります。

 

なので、 解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線のような運動が可能であるには解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線が同時に“0”にならない条件として、 先ほどのセクション内において示した次のような式、

 

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を考える必要があります。これを実際に計算すると

 

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出てきた式において解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線とおきましょう。

 

すると次に示すようなXに対する2次方程式が出来上がります。

 

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これを計算します。

 

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という結果が出てきたので次の2つの解が求まることになります。

 

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解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線を代入すると、

 

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また解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線を代入すれば、

 

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したがって、

 

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の4つとも解になるのでそれぞれを代入します。

 

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これが一般解になります。

 

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また一方で解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線は逆方向の運動と考えられます。

 

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