ラグランジュによる連成振動の解@

連成振動の解@

解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線

長さ解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線の糸を張力解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線で張っておき、長さ解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線ごとに質量解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線のおもりを結びつけ、そのおもりは直角方向のみに振動するとします。こういった場合のおもりの小振動をラグランジアンを使って求めてみましょう。

 

解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線

 

まずそれぞれの糸におけつ直角方向の張力を求めます。

 

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解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線

解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線

 

解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線

 

残りの2つも同じようにして求めます。
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解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線

 

これらの結果によりラグランジアンは次のようになります。

 

解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線

 

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解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線より

 

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つぎに解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線より、

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ここで解を

 

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と置いて、これをそれぞれ2度微分します。

 

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解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線に代入して、

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さらに今度は解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線に代入して、
解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線

解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線

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解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線と、解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線の式において解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線が同時に0になると運動しない 解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線これは意味がありません。

 

上記の式において意味のある解を求めるには、同時にならないような解を求めなければなりません。その同時に0にならないような条件として次に示すような行列式を使った永年方程式と呼ばれるものを計算する必要があります。

 

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この行列式を解きます。
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ここで解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線と置くと

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これを解くと、

 

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解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線

 

の2つが出てくるので、これをプライムを使って区別します。

 

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解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線に関して
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したがって、

 

まず解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線より、

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の一組と、

 

さらに解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線より、

 

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の2組が目止められます。

 

これらをそれぞれ加え合わせれば、

 

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