よい子の低学年向け数学シリーズ

最速降下線問題


 

最速降下線問題とは、ある質点が曲線に沿って点から点まで移動したとき一番短い時間で到達するような曲線はどんなものかと考える問題です。

 

座標をに平行に、軸を鉛直下向きにとるとある質点の速さは

 

線要素は

 

 

と考えることができるので、は、

 

 

時間の積分を作れば、

 


 

この出てきた積分が最小値になるものを求めればいいわけです。

 

としてオイラーの方程式を計算します。

 


 

これらを式に代入します。

 

 


 

ここで、この出てきた積分式の積分定数と置きます。

 





 

ここでと置く変数変換をします。

 

 


 

を微分すれば

 

 

これを代入すれば

 

 


 

これの両辺を積分すれば

 

 

ここで初期条件を考えると時間がのときはなので、
出てきた積分定数

 

さらには定数なので簡単にと置きましょう。

 

したがって求める最小降下線の式は以下のようになります。

 

 

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