よい子の低学年向け数学シリーズ

フェルマーの定理


 

フェルマーの定理というのは媒質中(屈折率は一定とします)を通る光の2点間の通過時間は極小になるような経路をとるというものです。

 

これを変分法を使って表してみましょう。

 

曲面を記述する独立な2つのパラメーターをとします。そのときのベクトル方程式はであり、さらにこの方程式に対してのパラメーターをとすればです。

 

この線上での距離だけ進むとき、そのは次のよう表せます。

 


 

これらを用いれば、

 



媒質中点における屈折率をとし、真空中における光の速さをにおける光の速さを、経路のパラメーターを

 

にかかる時間は

 


 

したがってフェルマーの定理は次のようになります。

 

絶対屈折率がの媒質が平面で接している場合、一方の媒質からもう一方の媒質へ光が通過する場合を考えてみます。

 

図はの位置から境界面上の点を通過しに至るものとします。 ここでは屈折率により変わるので以下のように表すとします。

 

一定の媒質中であるならば経路は直線なので、

 

 

一方、拘束をとしそれを代入すると、

 

 

について変分をとると

 

 

ここでと戻せば

 


 

この結果によって次のように表すことができます。

 

 

解析力学,ラグランジュ,一般化,連成振動,2重振り子,変分原理,オイラーの方程式,変分問題,ハミルトンの方式,懸垂線

 

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